Root Locus Technique – Problem 1 – Root Locus Analysis – Control Systems

by in contenido on 12 noviembre, 2019

Hola amigos en este video vamos a resolver un problema sobre cmo trazar la raz diagrama locus de un sistema que utiliza el reglas para la tcnica de locus raz veamos cual es nuestro problema entonces nuestro problema es dibujar la raz lugar de un sistema de retroalimentacin de unidad con funcin de transferencia de bucle abierto que se nos dio como GS bordes es igual a okay sobre ss ms 2 s plus three ya que el valor de okay es variado del 0 al infinito, as que bosquejemos el trazar el lugar de raz de este sistema nosotros seguir las reglas o los pasos de la tcnica de locus raz uno por uno para trazar este lugar de races el primer paso es para determinar todos los polos y ceros de este sistema para que veas que el Z polos se obtienen igualando esto trmino del denominador a 0, entonces ss ms 2 s ms three es igual a zero, entonces tenemos las races de esta ecuacin como s es igual a zero s es igual a menos 2 ys es igual a menos 3 en okay es igual a zero cmo estamos obteniendo las races lo estamos poniendo en el ecuacin 1 ms GSHS que es el ecuacin caracterstica tenemos trama poniendo el valor de los bordes de G s aqu k sobre ss ms 2 s ms three es igual a zero entonces estamos obteniendo la ecuacin como ss ms 2 s ms 3 ms ok es igual a 0 esto es nuestra ecuacin caracterstica de esto sistema ahora aqu estamos tomando el valor okay es igual a zero as que si okay es igual a zero esto el trmino restante ser igual a 0, entonces esto est aqu ahora no tome valores una taza de las races de valores de esta ecuacin estamos obteniendo tres races es igual a cero s es igual a menos dos ys es igual a menos tres por lo que estos tres valores son los polos de este sistema bien y cero porque aqu no estamos teniendo cualquier cero por lo que estos polos el lugar de la raz no tenemos cero para este sistema, as en el primer paso hemos obtenido el polos y ceros de bucle abierto de este sistema ahora segundo paso es el inicio y el punto final del inicio del lugar de races el lugar de la raz esto comienza desde el polos y termina en los ceros aqu tenemos tres polos iguales a cero s es igual a menos dos ys es igual a menos tres y ceros somos no tener ningn cero por lo que la raz locus comenzar desde el poste pero lo har terminar aqu en el infinito bien es decir, k es igual al infinito lo har comenzar desde k es igual a cero y lo har terminar en okay es igual al infinito por lo que este es el comienzo y el final punto del lugar de las races ahora paso tres en el paso tres determinaremos el direccin de las ramas del lugar de la raz aqu tenemos P mayor que Z que es el nmero de polos es mayor que los polos cero son tres y tres es mayor que cero por lo que el nmero de las ramas sern iguales a nmero de polos que habr tres ramas bien tres ramas de fruta los lugareos ahora trazan estas races o los polos del sistema en el plano S esto es un eje imaginario esto es realmente evaluar este es el zero es igual a cero y nosotros tener menos 1 menos 2 menos 3 menos 1 ahora s es igual a cero es un polo s es igual a menos dos es el polo ys es igual a menos tres es un poste, as que estamos teniendo tres polos ahora para determinar el direccin de las ramas del lugar de la raz tomar tres puntos tomar punto en todos estos tres polos suponen que esto es P 1 y para este polo hay dos puntos P 2 de aproximadamente este segundo Polo y hay dos puntos en este polo Tambin as comenzamos desde aqu a partir de este punto y luego calcular el nmero de polos y ceros en el lado derecho de este punto tenemos 1 2 3 three polos a la derecha lado de la mano de este punto por lo que la direccin del lugar de la raz para este polo s es igual 2 menos three ser hacia este punto good enough entonces ser en esta direccin ahora para este punto P 3 el nmero de polos y ceros en el lado derecho es 1 2 esa es la direccin de la raz lugar para este polo s es igual a 2 menos 3 no ser en esta direccin que es hacia este punto ahora comprobar el pie para este polo s es igual a 2 menos 2 4 es igual a menos 2 hemos tomado dos puntos primero verifique este punto para esto sealamos que tenemos el nmero de polos como 2 en el lado derecho para que el la direccin de los loci raz no ser hacia este punto ahora para que este P sealar el nmero de fruta el nmero de polos es 1 a la izquierda a la derecha lado de la mano por lo que la direccin de los loci de raz ser hacia este punto bien ahora 4p1 el nmero de polos es uno al lado derecho es extrao por lo que la direccin de los loci raz ser hacia este punto bien y para En este punto, el nmero de locus raz es el nmero de polos es cero a la derecha lado de la mano por lo que no ser esto direccin por lo que este es el lugar de la raz ramas para estos tres polos tenemos sabido que esto existe entre estas dos partes bien as que esto completa nuestro paso nmero tres ahora paso nmero cuatro como puedes ver en esta trama de las races que esto para estos dos polos estos dos polos son ajustados entre s y estas raz ramas de locus con las que coinciden se encuentran en un punto as que este punto donde estos dos loci raz las ramas se encuentran se llama el punto de ruptura as que calculemos esto punto de ruptura ahora punto de ruptura por lo el punto de ruptura se calcula mediante diferenciando la transferencia de lazo abierto funcionar con respecto a sy luego equiparando este valor de diferenciacin a cero por lo que nuestra G s se nos da como ok sobre ss plus 2 s plus three en la pregunta que se dan G sss es igual a k sobre ss ms 2 s ms three, entonces H s es 1 porque es un sistema de retroalimentacin unitaria, por lo que gs es igual a k sobre ss ms 2 s ms 3 ahora diferenciar esto con respecto a s comienza hay dos mtodos averiguar esta diferenciacin primero es aplicar la frmula de diferenciacin y segundo mtodo es encontrar directamente el ruptura de un punto dejando que esto sea x1 sobre X 1 sobre X plus 2 y 1 sobre X plus 3 es igual a 0, as que estamos contentos X ms 2 X ms three ms XX ms 3 ms XX ms 2 es igual a zero resolver esto estamos teniendo X cuadrado ms 5x ms 6 ms X cuadrado ms 3x ms X cuadrado ms 2x es igual a zero, entonces estamos teniendo three X cuadrado ms NX ms 6 es igual a 0 si resolvemos esta ecuacin nosotros obtendr el valor de XL menos 0.Seventy eight 4 yx es igual a 2 menos 2 puntos 5 4 9 as este es un mtodo para el mtodo directo para encontrar el valor de la X o el valor de los puntos de ruptura otro mtodo es diferenciarlo aplic el frmulas de diferenciacin diferenciacin de esto ser un ser zero, por lo que ser convertido en zero y la diferenciacin de este la ecuacin del denominador es 3x al cuadrado ms 10 s ms 6 dividido por s ms 2 s ms 3 toda la plaza bien, as que este es el diferenciacin de este circuito abierto funcin de transferencia ahora lo pone a equiparar a zero entonces obtendremos 3 s al cuadrado + 10 s ms 6 sobre ss ms 2 s ms 3 es igual a 0 nosotros obtendr 3 s al cuadrado ms 10 s ms 6 es igual a 0 porque cuando esto las cosas van al lado derecho se multiplicar por 0, por lo que convertirse en zero las races de esta ecuacin o la solucin de esto ser igual a menos 0,seventy eight four ys es igual a menos 2,5 4 ninguno est bien, as que estos son los dos valores de los puntos de ruptura que tenemos podemos usar cualquiera de los dos mtodos para descubrir el puntos de separacin ya sea podemos aplicar el frmulas de diferenciacin directa o nosotros puede usar este mtodo de factorizacin ahora fuera de estos dos valores que es igual a s a menos 0,seventy eight 4 ys es igual a menos 2 punto 5 4 9 ahora si vemos nuestro lugar de races diagrama que hemos trazado aqu, as el punto de ruptura estar en alguna parte entre s es igual a zero ys es igual a menos 2 y estamos obteniendo los valores como s es igual a 2 menos 0.Seventy eight 4 y menos 2 punto 5 4 9 por lo que este punto no es vlido porque no miente entre este s es igual a 0 ys es igual a menos 2 punto es menos 2.5 para 9 puntos es algo aqu as que son vlidas escapadas el punto es s es igual a menos 0.Seventy eight comida esto no es vlido porque no est mintiendo Entre s es igual a menos 2 ys es igual a cero as que este no es un punto de ruptura ahora nuestro el siguiente paso es el paso nmero cinco ahora determinar esas asntotas en el eje real por lo que para las asntotas tenemos que primero assess el punto de interseccin de las asntotas con las X s tan reales punto de interseccin cuya frmula es x es igual a la suma de P menos la suma de Z sobre P menos Z supongamos que somos tener s es igual a cero s es igual a menos dos ys es igual a menos tres, as la presentacin de P ser 0 menos 2 menos 3 que es menos 5 y ceros porque no tienen ningn cero por lo que ser es suficiente ser cero, as que es menos cinco menos cero nmero de pastillas son tres, entonces P es igual a 3 y el nmero de ceros es cero, as que es Z, as que estamos obteniendo aqu el valor como menos 5 por three o X es igual a menos un punto seis seis siete por lo que es la interseccin punto de las asntotas con lo actual eje ahora en la segunda parte vamos a descubrir el ngulo de las asntotas cmo podemos averiguar el ngulo que tenemos frmula para ello theta equivale a 2m ms 1 en one hundred eighty grado y dividido por P menos Z por lo que es la frmula para el ngulo de las asntotas aqu M ser igual a 0 1 2 L estamos teniendo P menos Z menos 1, as que P somos teniendo tres polos y ceros de zero y entonces menos 1 as que three menos half as que el valor de M ser zero 1 y 2 el valor de M aqu theta es igual a 2 primero poniendo M es igual a 0, entonces 2 en 0 ms 1 en 180 sobre P menos 8 el nmero de polos es three y el nmero de ceros es 0, entonces theta ser 0 ms 1 en 180 a hundred and eighty por 3 por lo que ser 60 grados para M es igual a 0 para M es igual a 1 poner 2 en 1 ms 1 que es 3 en one hundred eighty sobre 3, entonces theta ser a hundred and eighty grados para M es igual a 2 para poner aqu 2 a zero para 4 ms 1 5 5 en one hundred eighty por three bien, as aqu estamos obteniendo el valor de 300 s para M es igual a 0 theta es de 60 grados para M es igual a 1 theta es a hundred and eighty grados para M es igual a 2 theta es de 300 grados por lo que haber obtenido el ngulo 3 de la asntotas para las tres ramas que estamos entrando en el lugar de las races ahora nuestro el siguiente paso es el paso nmero 6 ahora en el paso nmero seis determinaremos la mirada interseccin de las asntotas o las ramas del lugar de las races con la interseccin del eje imaginario de la raz ramas de locus con eje imaginario nosotros tendr dos mtodos para descubrir esto primero fue poner s es igual a J Omega en la ecuacin caracterstica y decir inversa para usar la estabilidad de la raz criterios as que aqu usaremos la raz criterios de estabilidad para encontrar el punto de interseccin de la caracterstica la ecuacin del sistema fue s dice plus 5 s al cuadrado ms 6 s ms okay es igual a zero good enough ecuacin caracterstica que ya tenemos obtenido en el paso de otoo, as que use esto ecuacin caracterstica de la boca matriz s cubo s cuadrado s 1 s zero coeficiente de x cubo es 1, entonces 6 aqu 5 y okay por lo que ser 30 menos 5 6 alfa t menos ok sobre 5 ser 0 y luego 30 menos okay en esto y 5 en zero es 0, as aqu obtendremos ok as que esta es la raz criterios de estabilidad hemos formado el Matriz Routh ahora para que el sistema sea estable por lo que en un criterio de estabilidad de Routh el sistema es estable cuando en el primera columna no hay cambio de signo es aqu estamos teniendo positivo por lo todos los coeficientes deberan ser positivo que es mayor que zero, entonces 30 menos k en 5 debe ser mayor que 0 y ok debera ser mayor cero bien, as que desde aqu ests obteniendo el valor s treinta menos okay mayor que cero, por lo que el caso debe ser igual a mayor que cero en absoluto debera ser igual a cero, as treinta menos k debera ser cero eso es ok es igual a 230 bien entonces hemos obtenido el valor de okay que es nuestra ganancia y esta es la interseccin de las ramas del lugar de la raz con el eje imaginario ahora para este okay es igual a 230 vamos a determinar el valor de el valor Omega S est bien de nuevo tenemos obtenido escribir la ecuacin sustituta u.S. La fila justo arriba de esto y equipara a cero por lo que cinco s cuadrado ms ok es igual a 0, entonces ser 5 s al cuadrado ms 30 es igual a 0 as que este es el punto de interseccin o interseccin con el eje imaginario por lo s es lo que Sigma plus J Omega y aqu porque es interseccin con el eje imaginario por lo que s es igual a Sigma ms J Omega aqu Sigma ser 0 porque es imaginario existe lo que s es es igual a aqu J Omega por lo que Omega ser igual a ms menos 2.5 J por lo que tenemos hecho todos los pasos para este lugar de races ahora vamos a trazar este diagrama de locus raz estamos en el punto de ruptura que tenemos obtenido la interseccin que tenemos obtuvimos nuestras asntotas as que todos los pasos hemos seguido ahora solo esbozar esto lugar de la raz este es J Omega y este es Sigma sobresale imaginario y este es Alexis FLE bien s es igual a cero estamos teniendo una agujero entonces – uno – dos – tres – cuatro y esto es infinito, as que estbamos teniendo s es igual a menos dos y estamos teniendo s es igual a menos tres como un bien s es igual menos 2 s es igual a menos three esto es para T es igual a zero y para T es igual a infinito estamos teniendo s es igual a menos direccin infinita del lugar de races que hemos obtenido en nuestro primer paso aqu nosotros han logrado que la direccin direccin del lugar de las races que tenemos obtenido ya en un paso nmero tres que para s es igual a menos C ser hacia el infinito, as que tramaremos aqu de nuevo esto est bien as que ser as para s es igual a menos dos ys es igual a cero ser uno hacia el otro por lo ser como el uno hacia el otro y aqu estamos teniendo la ruptura de un punto donde los dos que cayeron Croaker debido a estos dos polos se estn rompiendo as este punto de ruptura es lo que es igual a menos zero,78 esta es nuestra escapada as que desde este punto eso es menos 0.78 estos dos corredores estarn divergiendo y estn terminando en ok es igual a infinito ahora estos dos que lo harn intersecar lo imaginario existe en el puntos que hemos calculado como ms menos dos punto cinco J as que este punto es ms dos punto cinco J y esto es menos dos punto cinco J bien ahora en estas dos ramas de locus raz estn teniendo las asntotas bien y estas son algunas bolsas intersecar la verdadera excelencia en un punto menos un punto seis siete que tenemos obtenido en nuestro nmero de paso aqu tenemos obtenido esa marca de un punto que tenemos ya obtenido aqu como esto menos zero,78 cuatro y ngulo de asntotas tenemos Tambin ya obtuve que es theta es igual a 60 grados Theda es igual a a hundred and eighty grado que es esto est por encima de la asntotas y theta equivalen a 300 grados as que desde aqu estamos teniendo la asntotas bien esto asntotas esto est haciendo una ngulo de 60 grados esto est haciendo un ngulo 300 grados y qu es one hundred eighty grados que es esta asntotas y este punto es el interseccin de las asntotas con el eje actual este punto que hemos obtenido en nuestro paso por lo que fue menos un punto seis siete locus raz que hemos trazado nos he bosquejado completamente el lugar de la raz esta es una de las ramas esta es una de la rama y estas son dos ramas estas dos ramas se estn rompiendo lejos en este punto tan totalmente son teniendo tres ramas, cul es esta? Parte es esto y tercera parte es esto estos dos locus raz son terminando en un igual al infinito este est terminando en k es igual a infinito a partir de un poste que termina en ok es igual a infinito y asntotas nosotros tenemos dos barcos increbles y nosotros somos teniendo este ngulo como 60 grados esto tiene 300 grados y este es el tercero o algo cdigo que tiene el ngulo a hundred and eighty grado bien, as que esta es la raz completa diagrama de lugar de este sistema espero que he entendido este problema claramente gracias